上期是MPN的入門篇，相信您已經(jīng)領(lǐng)悟了MPN的意義。本期是進(jìn)階篇，主要告知MPN的數(shù)學(xué)原理，就是MPN值是怎么算出來的，可能有點枯燥，但是也很有趣。閱讀進(jìn)階篇需具備以下數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：高中的排列組合、大學(xué)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計，以及微積分。

進(jìn)階篇

入門篇里我們提到了二項式分布，從圖上看，很多人估計都會覺得這像正態(tài)分布。沒錯，僅僅也就是像而已。

我們先來搞明白這幾個隨機(jī)變量分布。二項式分布是一個比較簡單的分布，適用于樣品量不大的試驗。如果把樣品量放大，概率變小，那么二項式分布就無限逼近泊松分布了。泊松分布是有限個數(shù)世界里的王者。如果把泊松分布樣品量也無限大，它就會逼近正態(tài)分布，而正態(tài)分布是無限世界的分布。有限個數(shù)和無限個數(shù)，是我自己給出的概念，目的是讓你理解。數(shù)學(xué)上叫離散型和連續(xù)型。

如果把全球70億人作為樣本，分析某個指標(biāo)，你覺得應(yīng)該用什么分布？只能是泊松分布，因為70億雖然很多，但是是有限個數(shù)。數(shù)學(xué)就是這么殘酷，70億很大么？毛毛雨啦。

如果想分析數(shù)字0到數(shù)字1之間的某個隨機(jī)變量的分布，那才能用到正態(tài)分布。因為0到1之間是連續(xù)的，是可以無限劃分的，只要小數(shù)點后面位數(shù)足夠，它就是無限的?，F(xiàn)在你明白，有限和無限的區(qū)別了吧。

所以我們做微生物數(shù)量分析，雖然微生物數(shù)量動輒幾十億，上百億，但是在數(shù)學(xué)面前都是有限的。所以下面的計算只用到了泊松分布和二項式分布。

言歸正傳，MPN法是有兩個假設(shè)前提的。為了方便理解，我們還是以水質(zhì)中大腸檢驗為例。第一，大腸菌在水體中都是以均勻分散狀態(tài)存在的，沒有若干個大腸菌結(jié)成一團(tuán)的情況（知道為啥樣品要均質(zhì)了吧）。第二，如果水體和水樣的容積分別以V和v表示，水體和水樣中的大腸菌數(shù)分別以n和x表示。那么，V與v相比，n與x相比，都是很大的數(shù)字。就是說，v和x相對來說都是小到可以忽略的數(shù)字。就好像你去長江里取一瓶水，這瓶水對長江來說，可以忽略。

在容積為v的水樣中恰好出現(xiàn)x個大腸菌的概率符合泊松分布：

其中，x=0，1，2，3，......

在水樣容積v中恰好出現(xiàn)零個大腸菌的概率為：

如果每毫升水樣中的大腸菌個數(shù)為λ（注意：由此可知λ的單位是個/mL），則水樣v毫升中不出現(xiàn)大腸菌的概率為：

如果每毫升水樣中大腸菌個數(shù)為λ，則水樣中出現(xiàn)大腸菌的概率為：

那么在N支樣品容積為v的發(fā)酵管試驗中，恰好出現(xiàn)r支顯陰性反應(yīng)，N-r支顯陽性反應(yīng)的概率為：

在N₁支樣品容積v₁、N₂支樣品容積v₂、N₃支樣品容積v₃毫升的發(fā)酵管試驗中，如果呈陰性反應(yīng)的支數(shù)恰好分別是r₁、r₂及r₃，而呈陽性反應(yīng)的支數(shù)恰好分別為N₁-r₁、N₂-r₂、N₃-r₃時，每毫升水樣中的大腸菌數(shù)仍用λ表示，那么，這一試驗結(jié)果發(fā)生的概率為：

好了，公式終于推出來了。我們的最大可能數(shù)就是上面這個公式中f(λ)最大值時對應(yīng)的λ值，也就是我們想知道的濃度值。

先介紹一個最原始的計算過程。

這個公式中現(xiàn)在有四個未知量，N、r、v和λ。如果帶入具體試驗，你會發(fā)現(xiàn)其實只有一個λ是真正未知的。

例如，我們做9管法，稀釋度選10倍、100倍和1000倍，陽性管數(shù)是1-0-0（本來想算3-2-1，結(jié)果嘔血三升，實在算不下去，放棄了，又選了一個簡單的）那通過查MPN表結(jié)果是3.6MPN/g。那么N₁、N₂、N₃都是3，r₁、r₂、r₃代表陰性管，所以分別是2、3、3。那么v1、v2、v3就是稀釋度下樣品含量分別是0.1mL、0.01mL和0.001mL。未知的就只剩λ了，那么把上面這些參數(shù)代入公式，計算如下：

把這個公式轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖是這樣的：

是不是和拋硬幣的那個圖完全不同了？這上面橫坐標(biāo)就是1-0-0中對應(yīng)的所有可能的菌濃度。我們要找的是最可能的值，也就是函數(shù)的最高點對應(yīng)的λ值。

怎么算呢？用微積分求導(dǎo)數(shù)就行了，最高點的導(dǎo)數(shù)是等于0的。所以把上述公式求導(dǎo)：

這就是剛才公式的導(dǎo)函數(shù)，只要讓這個導(dǎo)函數(shù)等于0，求相應(yīng)的λ值就行了。具體計算對數(shù)學(xué)專業(yè)人士應(yīng)該挺簡單的，但是對我們還是挺復(fù)雜的，所以我們再取個巧，直接做函數(shù)圖，圖上會幫我們計算。

看結(jié)果出來了，是3.571，四舍五入之后就是MPN表上的3.6了。我們看到的MPN表上的數(shù)值都是四舍五入之后的。

這么計算太麻煩了，所以在1942年，Thomas先生給出了一個估算MPN值的方法，計算過程比上面的方法簡單了很多很多。目前FDA介紹的也是這種估值的算法。注意，這個方法算出是估值，不是準(zhǔn)確值。

公式是這樣的：

帶入公式：

估值是3.59，我們用第一個方法算出來的是3.571，結(jié)果還是很接近的，但是計算過程可是省事了很多，既不用求導(dǎo)數(shù)也不用解方程。而且兩個數(shù)四舍五入之后都是3.6。

好了，計算方法都介紹完了，如果每次我們做完試驗都需要這么計算一番才知道結(jié)果，是不是很痛苦？所以McCrady先生才做了MPN表，表格的每一項都是計算出來的，繪成表格后使用就方便了。只要查出管數(shù)的陽性數(shù)就可以查到相應(yīng)的MPN值了。所以請珍惜和重視我們的MPN表吧，每個數(shù)據(jù)都是一點點算出來的，剎費苦心啊。

最后說一點，MPN/g與MPN/100g能不能換算？怎么換算呢？看完上面的介紹和計算應(yīng)該明白了吧。可以換算，直接把MPN/g乘以100，就是MPN/100g。其實就是公式中λ的單位，現(xiàn)在假設(shè)的是個/mL，分子分母同時乘以100，就是個/100mL。

舉個例子。還是以大腸菌群的國標(biāo)為例，我們從兩個標(biāo)準(zhǔn)附錄中的MPN表里隨機(jī)挑選幾個組合，列成下表。左邊是2003年的，右邊是2016年的。

上表可以看出兩個不同，一個是黃色標(biāo)注的稀釋度不同，一個是綠色標(biāo)注的結(jié)果單位不同。為了更直觀的看到這個100倍的差異，我們把稀釋度統(tǒng)一一下。根據(jù)國標(biāo)MPN表中備注，選不同稀釋度時結(jié)果可相應(yīng)放大或縮小一定倍數(shù)，那么表格就變成了這樣。

稀釋度統(tǒng)一后，我們再來看結(jié)果，發(fā)現(xiàn)是不是就是100倍的差別？有兩個不同的，你想到了什么？是不是四舍五入？之前我就提過，MPN表有四舍五入修約的，不同時代的MPN表保留有效數(shù)字的位數(shù)不同，所以就修約成了不同的樣子，但是他們本質(zhì)上就是原始公式中λ的單位而已。

如果看到這里，在不翻書不求助的情況下，上面的計算你都能看懂。

恭喜您了，您一定是萬中無一的數(shù)學(xué)人才?。。。?！

畢竟大學(xué)畢業(yè)也好幾年了，就算剛畢業(yè)，也距離大一大二好幾年了。很多東西都還給老師了，您如果還能記得，請一定重視自己的數(shù)學(xué)天賦，您的未來不可限量?。。。?！??